Relatos de Ouro

O DESAFIO PITAGÓRICO

Dia 5 de Junho, na comemoração do “Dia do Meio Ambiente”, a prefeitura de Mariana se dispôs a organizar uma corrida ecológica com os alunos das escolas municipais pelas ruas do centro da cidade.  Pitágoras, professor de matemática de uma das escolas convidadas, ficou com a tarefa de desenhar o melhor trajeto a ser percorrido pelos participantes.

Tendo em mãos o mapa da cidade, o professor observou que as ruas centrais se dispunham formando algumas figuras geométricas e indicou seus vértices com letras latinas maiúsculas.

Pitágoras, sempre disposto a promover nos alunos o gosto pelo raciocínio matemático,  pensou  em incluir à corrida algumas tarefas instigantes, transformando a corrida em “Gincana Mat/ecológica”. Em alguns pontos do trajeto, os participantes deveriam resolver questões  elaboradas  a partir da análise criteriosa  do mapa e  das seguintes informações:

(os dados e as informações a seguir são fictícios).

→  BCF forma um triângulo equilátero em que DE é paralela a BC pelo ponto médio de BF.

→  KF  JG  IH são paralelas, sendo  J o ponto médio de  KI.

→  AB = BE = FK

→  AK = KI

→  KJ = 150m           

→  JG = 290m

→  GH = 175m

→  HI  = 400m

Ajudem o Professor Pitágoras a organizar a gincana, que deve ter partida e chegada no ponto A:

a)    Desenhem o maior circuito possível para essa prova, de modo que os participantes passem uma só vez pelo mesmo lugar. Identifiquem o trajeto pela sequência das letras indicadas no mapa.  
 A trajetória é descrita pela seguinte sequência de pontos: A-B-C-D-E-F-G-H-I-J-K-A

b)   Usando conhecimentos de Geometria elaborem, no mínimo, três questões para que as respectivas soluções indiquem aos participantes a distância percorrida nos  trechos do trajeto.
1) Na figura acima, BC // DE. Considerando que o segmento BC mede 360m, a razão de BC/ED equivale à razão de 2/1 e o triângulo DEF é equilátero, determine a medida do segmento EF.

2) FHIK é um trapézio, FK//GJ//HI, FK= 180m, HI-FK = 120m e J é o ponto médio de KI. Baseado nestas informações, determine a medida do segmento GJ.

3) Sabendo que FK//GJ//HI , KJ=150m, a razão KJ/FG segue a proporção de 6/7 e que J é o ponto médio de KI, determine KI-FG.

c)    Resolvam as questões propostas no item anterior, calculando as medidas dos trechos do circuito escolhido citando os conceitos ou propriedades utilizadas.

1) BC/ED = 2/1 → 360m/ED = 2/1 → 2ED=360m → ED=180m. BEF é um triângulo equilátero, logo ED=DF=EF. Se ED=180m, logo, EF=180m.

2) HI-FK= 120m à HI-180m=120m à HI=400m. (HI+FK)/2 = GJ à (400+180)m/2 = GJ à 290m=GJ. Utilizamos GJ como base média do trapézio para resolver a questão.

3) KJ/FG = 6/7 à 150m/FG = 6/7 à 6FG=1050m à FG=175m
KI=KJ + JI, se J é ponto médio de KI, KI=(150+150)m=300m. KI-FG=(300-175)m=125m. Foi utilizado teorema de tales para encontrar as medidas.

d)   Ao fim da corrida, vence o participante que aliou velocidade e conhecimento! Qual foi a distância total (em quilômetros) percorrida pelo vencedor da gincana?

A distância percorrida se dá pela soma AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HI+IJ+JK+KA que, substituindo pelos seus respectivos valores, é igual a (180+360+180+180+180+175+175+400+150+150+300) metros, realizando tal soma obtemos a distância de 2430 metros. Sabendo que mil metros equivale a um quilômetro, então o vencedor percorreu 2,43km.

Rodrigo Esquinelato com seu jeitão esportista deixou para trás todos os outros atletas, subiu e desceu ladeiras e venceu todas as barreiras. Ainda entrevistamos o campeão:
Entrevistador: Como você conseguiu ganhar?
Esquinelato: Com a matemática tudo ficou mais fácil.
Entrevistador: Quais princípios matemáticos você usou para vencer a corrida?
Esquinelato: Visualizei o mapa da corrida anteriormente, e fiz cálculos da corrida usando o Teorema de Tales, semelhanças de triângulos, dentre outros princípios básicos.
Entrevistador: Muito obrigado pela entrevista!